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\documentclass[12pt,t,aspectratio=169,mathserif]{beamer}
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\begin{document}

\title{高等代数二}
\subtitle{9-1-二次型和对称矩阵 }
%\institute{上海立信会计金融学院}
%\author{王立庆}
\author{{\ppr LQW}}
\renewcommand{\today}{{\ppr \number\year \,年 \number\month \,月 \number\day \,日} }
%\date{{\ppr 2023年3月9日} }

\maketitle

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{9.1.i. 作业：星期天晚上十点半之前在网络教学平台提交 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{enumerate}
\item   整理课堂笔记，补充没写完的计算或证明。
\item   习题(9.1)\#1,2,3,4, 抄写题目。
\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{9.1.ii. 目录 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{enumerate}

\item[9.1.1.] 二次型的定义
\item[9.1.3.] 非奇异的变量代换的定义
\item[9.1.4.] 定理9.1.1. 二次型的变量代换
\item[9.1.5.] 二次型的秩的定义
\item[9.1.7.] 两个矩阵合同的定义 
\item[9.1.9.] 两个二次型等价的定义
\item[9.1.10.] 定理9.1.2. 等价的二次型与合同的矩阵 
\item[9.1.12.] 定理9.1.3. 对称矩阵必定合同于对角矩阵
\item[9.1.13.] 对称矩阵的合同变换的例子
\item[9.1.14.] 二次型的化简的例子

\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{9.1.iii. 课堂讲解重点 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{enumerate}
\item  二次型的概念
\item  配方法与初等变换法
\item  二次型的变量代换与矩阵的合同
\item  等价的二次型有相同的秩
\item  对称矩阵必定合同于对角矩阵

\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{9.1.1. 二次型的定义 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item   {\color{red} 问题：什么是二次型？}

\item  解答：

\begin{enumerate}

\item  数域 $F$ 上的一个 $n$ 元二次型是一个二次齐次多项式
\begin{eqnarray*}
q(x_1,\cdots,x_n) = \sum\limits_{i,j=1}^n a_{ij}x_ix_j,
\end{eqnarray*}
其中对任意 $i,j$, 都有 $a_{ij}\in F$ 且 $a_{ij}=a_{ji}$. 

\item  使用矩阵乘法，设 $A=(a_{ij})_{n\times n}$, $X=(x_1,\cdots,x_n)^t$, 则二次型可以写成
\begin{eqnarray*}
q(X)=X^{\,t}AX.
\end{eqnarray*}

\item  注：数域 $F$ 一般是三种情况：有理数域 $\mathbb{Q}$, 实数域 $\mathbb{R}$ 和复数域 $\mathbb{C}$. 

\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{9.1.2. 二次型的例子 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item  {\color{red} 问题：将二次型 $q(x_1,x_2)=x_1^2+4x_1x_2+5x_2^2$ 写成矩阵形式。} 

\item 解答：将平方项的系数写在矩阵的对角线上，将交错项的系数平均分配到对称的两个位置上。
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
q(x_1,x_2)=x_1^2+4x_1x_2+5x_2^2 = 
\begin{pmatrix}x_1 & x_2 \end{pmatrix} 
\begin{pmatrix} 1&2 \\ 2&5  \end{pmatrix} 
\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2  \end{pmatrix}. 
\end{eqnarray*}
}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{9.1.3. 非奇异的变量代换的定义 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item   {\color{red} 问题：什么是非奇异的变量代换？}

\item  解答：设 $X=(x_1,\cdots,x_n)^t$ 和 $Y=(y_1,\cdots,y_n)^t$ 是两组变量。设 $P$ 是一个 $n$ 阶可逆矩阵，则称 $X=PY$ 是一个非奇异的变量代换。

\item 例子：证明下述定义的从 $(x_1,x_2)$ 到 $(y_1,y_2)$ 的变量代换是非奇异的，
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
\left\{\begin{array}{rcl}
x_1 &=& y_1+2y_2, \\
x_2 &=& 3y_2+4y_2.
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}
}

\item 解答：系数矩阵的行列式的值 {\footnotesize 
$\begin{vmatrix} 1&2 \\  3&4 \end{vmatrix}=-2\neq 0$}, 所以系数矩阵是可逆的。
所以这个变量代换是非奇异的。

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{9.1.4. 定理9.1.1. 二次型的变量代换 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item   {\color{red} 定理：设 $A$ 是一个对称矩阵，设 $q(X)=X^{\,t}AX$ 是一个二次型。设 $X=PY$ 是一个非奇异的变量代换。设 $q(PY)=Y^tBY$ 是变量代换后得到的二次型，则有 $B=P^tAP$. 
}

\item 证明：记 $q_1(Y)=q(PY)$ 是在二次型 $q(X)$ 中，将 $X$ 替换为 $PY$ 得到的二次型。根据矩阵的运算规则，可得 
\begin{eqnarray*}
q_1(Y) = q(X) = X^{\,t}AX = (PY)^t A(PY) = Y^t(P^tAP)Y. 
\end{eqnarray*}


\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{9.1.5. 二次型的秩的定义}

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item  {\color{red} 问题：什么是二次型 $q(X)=X^{\,t}AX$ 的秩？}

\item  解答：
\begin{enumerate}
\item  二次型 $q(X)=X^{\,t}AX$ 的秩是指矩阵 $A$ 的秩。

\item  例子：下述二次型的秩是1, 
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
q(x_1,x_2)=x_1^2+4x_1x_2+4x_2^2 = 
\begin{pmatrix}x_1 & x_2 \end{pmatrix} 
\begin{pmatrix} 1&2 \\ 2&4  \end{pmatrix} 
\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2  \end{pmatrix}. 
\end{eqnarray*}
}
\item  例子：下述二次型的秩是2, 
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
q(x_1,x_2)=x_1^2+4x_1x_2+5x_2^2 = 
\begin{pmatrix}x_1 & x_2 \end{pmatrix} 
\begin{pmatrix} 1&2 \\ 2&5  \end{pmatrix} 
\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2  \end{pmatrix}. 
\end{eqnarray*}
}
\end{enumerate}
\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{9.1.6. 二次型的秩在非奇异的变量代换下是不变的 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item  {\color{red}问题：设 $P$ 是可逆矩阵。证明二次型 $q(X)=X^{\,t}AX$ 的秩在变量代换 $X=PY$ 下是不变的。} 

\item 证明：
\begin{enumerate}
\item  变量代换后的二次型为 $q_1(Y) = Y^t(P^tAP)Y$. 
\item  因为变换矩阵 $P$ 是可逆矩阵，所以矩阵 $A$ 与矩阵 $P^tAP$ 的秩相等。
\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{9.1.7. 矩阵合同的定义 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item {\color{red} 问题：称矩阵 $A$ 与矩阵 $B$ 是合同的，指的是什么？}

\item  解答：
\begin{enumerate}

\item  如果存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{\,t}AP=B$, 那么称矩阵 $A$ 与 $B$ 是合同的。

\item  例如，因为 
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
\begin{pmatrix}1&0 \\ -2&1 \end{pmatrix} 
\begin{pmatrix} 1&2 \\ 2&7  \end{pmatrix} 
\begin{pmatrix} 1&-2 \\ 0&1  \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&3  \end{pmatrix}, 
\end{eqnarray*}
}
所以矩阵
{\footnotesize 
$\begin{pmatrix} 1&2 \\ 2&7  \end{pmatrix}$
}
与矩阵 
{\footnotesize 
$\begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&3  \end{pmatrix}$
}
是合同的。

\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{9.1.8. 合同关系是等价关系 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item  {\color{red} 问题：证明矩阵集合 $\mathcal{M}=M_n(F)$ 中的合同关系是一个等价关系。}
\begin{enumerate}
\item  {\color{red} 对任意矩阵 $A\in\mathcal{M}$, 都有 $A$ 与 $A$ 合同。}
\item  {\color{red} 对任意矩阵 $A,B\in\mathcal{M}$, 如果 $A$ 与 $B$ 合同，那么 $B$ 与 $A$ 合同。}
\item  {\color{red} 对任意矩阵 $A,B,C\in\mathcal{M}$, 如果 $A$ 与 $B$ 合同，以及 $B$ 与 $C$ 合同，那么 $A$ 与 $C$ 合同。}
\end{enumerate}

\item 证明：
\begin{enumerate}
\item  取 $P=E$, 则有 $E^tAE=A$. 所以 $A$ 与 $A$ 是合同的。
\item  若存在可逆矩阵 $P$, 使得 $P^tAP=B$, 取 $Q=P^{-1}$, 则有 $Q^tBQ=A$, 所以 $B$ 与 $A$ 是合同的。
\item  若存在可逆矩阵 $P$ 与 $Q$, 使得 $P^tAP=B$ 与 $Q^tBQ=C$, 取 $R=PQ$, 则 $R$ 是可逆矩阵，且有 
$R^tAR=C$, 所以 $A$ 与 $C$ 是合同的。

\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{9.1.9. 两个二次型的等价的定义}

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item {\color{red} 问题：两个二次型 $q_1(X)$ 与 $q_2(Y)$ 称为相互等价，是什么含义？}

\item  解答：
\begin{enumerate}
\item  如果存在非奇异的变量代换 $X=PY$, 使得 $q_1(PY)=q_2(Y)$, 
那么称二次型 $q_1(X)$ 与 $q_2(Y)$ 是相互等价的。

\item  例如，下述两个二次型是相互等价的，
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
q_1(x_1,x_2) &=& x_1^2+4x_1x_2+7x_2^2, \\ 
q_2(y_1,y_2) &=& y_1^2+3y_2^2. 
\end{eqnarray*}
}
用到的非奇异的变量代换为
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
\left\{\begin{array}{rcl}
y_1 &=& x_1+2x_2, \\
y_2 &=& x_2.
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}
}

\end{enumerate}


\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{9.1.10. 定理9.1.2. 等价的二次型与合同的矩阵 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item {\color{red} 问题：两个二次型相互等价，当且仅当它们的矩阵是合同的。}

\item 证明：
\begin{enumerate}
\item  设 $q_1(X)=X^tAX$, $q_2(Y)=Y^tBY$. 
\item  
\begin{enumerate}
\item  设二次型 $q_1(X)$ 与 $q_2(Y)$ 等价。
\item  存在非奇异变量代换 $X=PY$, 使得 $q_1(PY)=q_2(Y)$. 
\item  可得 $(PY)^tA(PY) = Y^tBY$. 
\item  可得 $P^tAP=B$, 即矩阵 $A$ 与 $B$ 是合同的。
\end{enumerate}

\item  
\begin{enumerate}
\item  设矩阵 $A$ 与 $B$ 是合同的。
\item  存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^tAP=B$. 
\item  取变量代换 $X=PY$, 这是非奇异的，且有 $$q_1(X)=q_1(PY) = (PY)^tA(PY)=Y^tP^tAPY= Y^tBY=q_2(Y). $$
\item  所以二次型 $q_1(X)$ 与 $q_2(Y)$ 是相互等价的。
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{9.1.11. 例子 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item  {\color{red} 问题：设 {\footnotesize $A=\begin{pmatrix} a&b \\ b&c \end{pmatrix}$} 是数域 $F$ 上的一个二阶对称矩阵。求 $F$ 上的一个可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{\,t}AP$ 是对角阵。
}

\item  解答：
\begin{enumerate}
\item  当 $a\neq 0$ 时，取 $k=\frac{b}{a}$, 进行下述行初等变换与列初等变换即得，
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
A=\begin{pmatrix} a&b \\ b&c  \end{pmatrix}
\xrightarrow[]{r_2= r_2-kr_1}
\begin{pmatrix} a&b \\ 0&c-kb \end{pmatrix}
\xrightarrow[]{c_2=c_2-kc_1}
\begin{pmatrix} a&0 \\ 0&c-kb \end{pmatrix}. 
\end{eqnarray*}
}

\item  当 $a=0$ 时，必有 $b\neq 0$. 先进行如下初等变换，化为情形1,
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
A=\begin{pmatrix} a&b \\ b&c  \end{pmatrix}
\xrightarrow[]{r_1=r_1+kr_2}
\begin{pmatrix} a+kb&b+kc \\ b&c \end{pmatrix}
\xrightarrow[]{c_1=c_1+kc_2}
\begin{pmatrix} a+2kb+k^2c&b+kc \\ b+kc&c \end{pmatrix}. 
\end{eqnarray*}
}

\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{9.1.12. 定理9.1.3. 对称矩阵合同于对角矩阵 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item  {\color{red} 定理：设 $A$ 是数域 $F$ 上的一个 $n$ 阶对称矩阵。则存在 $F$ 上的一个可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{\,t}AP$ 是对角矩阵。
}

\item 证明：对 $n$ 使用数学归纳法。以 $n=3$ 为例，
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
A=\begin{pmatrix} a&b&c \\ b&d&e \\ c&e&f \end{pmatrix}
\xrightarrow[r_3=r_3-mr_1]{r_2=r_2-kr_1}
\begin{pmatrix} a&b&c \\ 0&d_1&e_1 \\ 0&e_*&f_1 \end{pmatrix}
\xrightarrow[c_3=c_3-mc_1]{c_2=c_2-kc_1}
\begin{pmatrix} a&0&0 \\ 0&d_2&e_2 \\ 0&e_2&f_2 \end{pmatrix}.
\end{eqnarray*}
}

思路：通过一些合同变换，将问题化为一个低一阶对称矩阵。

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{9.1.13. 对称阵的合同变换的例子}

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item  {\color{red} 问题：将下述矩阵 $A$ 通过合同变换化为对角矩阵，
{\footnotesize 
$$A=\begin{pmatrix} 0&0&0&3 \\ 0&3&-6&0 \\ 0&-6&12&-4 \\ 3&0&-4&0  \end{pmatrix}.$$
}
}

\item 解答：先将 $(1,1)$ 位置变为非零。

\item  注：一般数域上的合同变换化为对角阵，答案不是唯一的。


\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{9.1.14. 二次型的化简的例子}

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item  {\color{red} 问题：将二次型 $x_1^2+4x_1x_2+7x_2^2$ 用非奇异变量代换化为只含平方项。
}

\item 解答：
\begin{enumerate}
\item  配方法：{\footnotesize 
$q(x_1,x_2) = x_1^2+4x_1x_2+4x_2^2 + 3x_2^2 = (x_1+2x_2)^2 + 3x_2^2=y_1^2+3y_2^2.$ }

其中的非奇异的变量代换为 
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
\left\{\begin{array}{rcl}
y_1 &=& x_1+2x_2, \\
y_2 &=& x_2.
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}
}

\item  初等变换法：
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
A=\begin{pmatrix} 1&2 \\ 2&7 \end{pmatrix}
\xrightarrow[\text{ }]{r_2=r_2-2r_1}
\begin{pmatrix} 1&2 \\ 0&3 \end{pmatrix}
\xrightarrow[\text{ }]{c_2=c_2-2c_1}
\begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&3 \end{pmatrix}=B. 
\end{eqnarray*}
}
\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{9.1.15. 二次型的化简的例子}

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item  {\color{red} 问题：将下述二次型通过非奇异的变量变换，化为只含平方项：
$$q(x_1,x_2,x_3,x_4) = 3x_2^2+12x_3^2+6x_1x_4-12x_2x_3-8x_3x_4.$$
}

\item 解答：
\begin{enumerate}
\item  二次型的配方法。先从 $6x_1x_4$ 这一项通过变量代换得出 $x_1^2$ 这一项来。
\item  对称矩阵的初等变换法。先写出相应的对称矩阵，
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
A=\begin{pmatrix} 0&0&0&3 \\ 0&3&-6&0 \\ 0&-6&12&-4 \\ 3&0&-4&0 \end{pmatrix}. 
\end{eqnarray*}
}

\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{习题(9.1)\#1 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item  {\color{red} 问题：证明一个非奇异的对称矩阵与它的逆矩阵合同。
}

\item 思路：两个矩阵合同的定义。

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{习题(9.1)\#2 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item  {\color{red} 问题：对下列每个矩阵 $A$, 分别求可逆矩阵 $P$, 使得 $P^tAP$ 为对角矩阵。
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
A=\begin{pmatrix} 1&2&1 \\ 2&1&1 \\ 1&1&3 \end{pmatrix}, \,\, 
A=\begin{pmatrix} 0&1&1&1 \\ 1&0&1&1 \\ 1&1&0&1 \\ 1&1&1&0  \end{pmatrix}, \,\, 
A=\begin{pmatrix} 1&1&-1&1 \\ 1&4&2&1 \\ -1&2&4&-1  \\  1&1&-1&-1  \end{pmatrix}. 
\end{eqnarray*}
}
}

\item 思路：二次型的配方法或对称矩阵的初等变换法。

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{习题(9.1)\#3 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item  {\color{red} 问题：写出下述二次型的矩阵，并将这个二次型化为一个与它等价的二次型，使后者只含变量的平方项，
 $$q(x_1,x_2,x_3) = \sum\limits_{i=1}^{3} \sum\limits_{j=1}^{3} \lvert i-j \rvert x_ix_j. $$

}

\item 思路：二次型的配方法或对称矩阵的初等变换法。

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{习题(9.1)\#4 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item  {\color{red} 问题：设 $A$ 是数域 $F$ 上的一个 $n$ 阶的反对称矩阵，即满足条件 $$A^t=-A.$$ }
\begin{enumerate} 
\item  {\color{red} $A$ 必定与分块对角矩阵 $B=\text{diag}\{J,\cdots, J, 0,\cdots, 0\}$ 合同，
其中 $$J=\begin{pmatrix} 0&1 \\ -1&0  \end{pmatrix}.$$ }
\item {\color{red} 反对称矩阵的秩一定是偶数。}
\item {\color{red} 数域 $F$ 上两个 $n$ 阶反对称矩阵合同的充分必要条件是它们有相同的秩。}
\end{enumerate}

\item 思路：先考虑 $n=2$ 的情形，使用行和列的初等变换。

\end{itemize}

\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\end{document}










